Progressão Geometrica

    Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

Representação de uma P.G.

Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.G. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão geométrica:
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).
A representação acima se refere a uma P.G. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:
P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).

Terminologia

P.G. ( 3, 12, 48, 192, 768 )
Acima temos a representação de uma progressão geométrica finita.
Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a3 se refere ao terceiro termo desta P.G., que no caso é igual a 48, já o primeiro termo, a1, nesta P.G. é igual a 3.
Como citado acima, o quociente entre dois termos consecutivos de uma P.G. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 4, por exemplo, a divisão do segundo pelo primeiro termo é igual a 4.
Este valor constante que é o quociente entre um termo e outro é denominado razão da progressão geométrica e é representado pela letra q.
Se representamos um termo qualquer de uma P.G. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que o seu consequente é igual a an + 1.
Desta forma podemos dizer que  , ou ainda  .
Veja estes exemplos:   e também  .
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.G. é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

 

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica é constante quando a sua razão é igual a 1, ou quando o primeiro termo é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.G. têm o mesmo valor.
Exemplos:
P.G. ( 0, 0, 0, 0, ... )
P.G. ( 5, 5, ..., 5 )
P.G. ( 9, 9, 9 )
No primeiro exemplo temos que a1 = 0 e nos outros dois q = 1.

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica é crescente quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. Isto ocorre quando q > 1 e a1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 < 0.
Exemplos:
P.G. ( 1, 2, 4, ... )
P.G. ( -480, -120, -30, ... )
Note que a razão das progressões acima é respectivamente 2 e 0,25. No primeiro caso, q > 1 e a1 > 0 e no segundo caso temos que 0 < q < 1 e a1 < 0.

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica é decrescente quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo. Isto ocorre quando q > 1 e a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 > 0.
Exemplos:
P.G. ( -35, -105, -315, ... )
P.G. ( 1400, 560, 224, ... )
Veja que a razão das progressões acima é respectivamente 3 e 0,4. No primeiro exemplo, q > 1 e a1 < 0 e no segundo temos que 0 < q < 1 e a1 > 0.

Progressão geométrica alternante ou oscilante

Uma progressão geométrica cujos termos alternem ou oscilem de positivo para negativo e vice-versa, é denominada P.G. oscilante ou P.G. alternante. Isto ocorre quando q < 0 e a1 ≠ 0.
Exemplos:
P.G. ( -3, 6, -12, ... )
P.G. ( 729, -218,7, 65,61, -19,683, ... )
Em ambos os casos a1 ≠ 0. No primeiro caso a razão é igual a -2, logo q < 0 e no segundo temos que a razão é igual a -0,3, portanto também temos q < 0.